Úlohu\ rozdělíme\ na\ 2\ části.

Hledám\ nejkratší\ vzálenost\ bodu\ D \
od\ spodní\ podstavy\ (protože\ od\ odstatních\ stěn\ je\ 0)

Naleznu\ ji\ pomocí\ trojúhelníku\ AED

A

D

E

|AD|=a\

A

B

C

E

|AB|=a

Těžnice\ v\ rovnostranném\ trojúhelníku\ odpovídá\ výšce.\
\left(|BE|=\frac{a}{2}\right)

|AE|=\sqrt{|AB|^2-|BE|^2}\
|AE|=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\
|AE|=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a

X

|DE|=|AE|=\frac{\sqrt3}{2}a

Výpočet těžnice |AE|

|AE|\ je\ těžnice\ trojúhelníku\ ABC

|XD|\ spočteme\ pomocí\ obsahu\ trojúhelníku\ ADE.\
Obsah\ daného\ trojúhelníku\ se \ spočítá\ následovně:\
S=\frac{|AD|\cdot|ES_{AD}|}{2}=\frac{|XD|\cdot|AE|}{2}\Rightarrow|XD|=\frac{|AD|\cdot|ES_{AD}|}{|AE|},\
kde\ jedinou\ neznámou\ zůstává\ |XD|.

A

D

E

S_{AD}

S_{AD}

|AE|=\frac{\sqrt{3}}{2}a\
|AS_{AD}|=\frac{a}{2}\
Podle\ Pythagorovy \ věty\Rightarrow|ES_{AD}|=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}\
|ES_{AD}|=\frac{\sqrt2}{2}a

Výpočet |ES_{AD}|

|XD|=\frac{a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\
=\sqrt\frac{2}{3}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a\

|ES_{AD}|=\frac{\sqrt2}{2}a

Bod je shodný s vrcholem (D)

Pokud\ bod\ leží\ uvnitř\ čtyřstěnu, pak\ daný\ čtyřstěn\ rozdělí\ na\ 4\ jiné\ čtyřstěny,\
jejichž\ objemy\ nám\ v\ součtu\ dají\ objem\ původního.\
Poznámka:\ Pokud\ daný\ bod\ leží\ ve\ stěně\ pak\ je\ čtyřstěn\ rozdělen\ na\ 3\ části. 

Zobrazení menších čtyřstěnů

Jelikož\ jsou\ podstavy\ všech\ menších\ čtyřstěnů\ rovnostranné\ trojúhelníky\
o\ straně\ a,\ lze\ objem\ každého\ z\ nich\ spočítat\ jako\ S_{p}\cdot v_{i}.\
Součet\ objemů\ se\ musí\ rovnat\ objemu\ celého\ původního\ čtyřstěnu.

Objem\ původního\ čtyřstěnu\ spočítáme\ následovně:\
V=S_{p}\cdot v_t,\ kde\ S_{p}=\frac{\sqrt3}{4}a^2, v_{t}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\ (spočítáno\ jako \ |DX|\ v\ první\ části)\ \Rightarrow V=\frac{\sqrt{18}}{12}a^3=\frac{\sqrt{2}}{4}a^3\
V=V_1+V_2+V_3+V_4=S_{p}\cdot v_{1}+S_{p}\cdot v_{2}+S_{p}\cdot v_{3}+S_{p}\cdot v_{4}=\
V=S_{p}\cdot(v_1+v_2+v_3+v_4)\Rightarrow v_{t}=\underbrace{v_1+v_2+v_3+v_4}_{součet\ vzdáleností\ od\ stěn}=\frac{\sqrt{6}}{3}a

Bod je uvnitř čtyřstěnu

Zadání: Určete\ součet\ vzdáleností\ libovolného\ bodu\ pravidelného\ čtyřstěnu\
od\ všech\ jeho\ stěn.

Pokud\ čtyřstěn\ není\ pravidelný,\ není\ součet\ vzdáleností\ bodu\ od\ jednotlivých\
stěn\ konstantní. (můžou\ za\ to\ různé\ obsahy\ stěn) 

A = (-2.4583598064018197, -0.9819959120268571, 0)
B = (0.4352766338646532, 0.48607875479886076, 0)
C = Point(Circle[Midpoint[A, B], (Distance[A, B] * sqrt(3) / 2), Segment[A, B]])
a, D, stenaABC_1, stenaACD_1, stenaABD, stenaBCD_1, hranaAC_1, hranaAB_1, hranaBC_1, hranaAD_1, hranaCD_1, hranaBD_1 = Tetrahedron(A, B, C)
f = OrthogonalLine(D, xOyPlane)
E = Midpoint(B, C)
g = Segment(A, E)
h = Segment(E, D)
F = (-13.039002653527739, -2.6029754597395516)
G = (-8.608000880575672, -2.658305920503346)
i = Segment(F, G)
j = LineBisector(F, G)
H = Point(j)
mnohoúhelník1, g_1, f_1, h_1 = Polygon(F, H, G)
I = (6.190933731916656, 3.715033931531745)
J = (3.470750125318812, -0.9024205939536764)
mnohoúhelník2, k, l, m, K = Polygon(I, J, 3)
n = LineBisector(J, K)
L = Intersect(n, l)
p = Segment(I, L)
α_1 = Angle(I, L, J)
q = LineBisector(F, G)
r = OrthogonalLine(F, f_1)
X = Intersect(f, stenaABC_1)
s = OrthogonalLine(G, g_1)
M = Intersect(s, g_1)
t = Segment(M, G)
b = true
F_1 = (9.215822933908074, 0.6213998304920155)
G_1 = (16.727050806763117, 0.6374867299227877)
i_1 = Segment(F_1, G_1)
j_1 = LineBisector(F_1, G_1)
H_1 = Point(j_1)
mnohoúhelník1_1, g_2, f_2, h_2 = Polygon(F_1, H_1, G_1)
q_1 = LineBisector(F_1, G_1)
r_1 = OrthogonalLine(F_1, f_2)
s_1 = OrthogonalLine(G_1, g_2)
c = LineBisector(F_1, G_1)
N = Intersect(c, h_2)
O = Midpoint(F, G)
d = Segment(H, O)
e = Segment(H_1, N)
o = true
k_1 = Segment(H, O)
l_1 = Segment(D, X)
α = Angle(D, X, A)
u = true
P = (-1.3383555857074834, 0.6112745305415122, 0.6641271165132654)
m_1 = OrthogonalLine(P, stenaBCD_1)
n_1 = OrthogonalLine(P, stenaACD_1)
p_1 = OrthogonalLine(P, stenaABC_1)
t_1 = OrthogonalLine(P, stenaABD)
Q = Intersect(m_1, stenaBCD_1)
R = Intersect(t_1, stenaABD)
S = Intersect(p_1, stenaABC_1)
T = Intersect(n_1, stenaACD_1)
a_1 = Segment(P, T)
b_1 = Segment(P, S)
c_1 = Segment(P, R)
d_1 = Segment(P, Q)
v: a_1 + b_1 + c_1 + d_1
β = Angle(C, S, P)
w, stenaABC, stenaABP, stenaACP_1, stenaBCP_1, hranaAB, hranaAC_2, hranaBC_2, hranaBP_1, hranaAP_1, hranaCP_1 = Pyramid(B, A, C, P)
e_1, stenaACD, stenaCDP_1, stenaADP, stenaACP, hranaCD_2, hranaAD, hranaAC, hranaCP_2, hranaDP_1, hranaAP = Pyramid(C, D, A, P)
o_1, stenaBCD, stenaBCP, stenaCDP, stenaBDP, hranaBC, hranaCD, hranaBD, hranaBP, hranaCP, hranaDP = Pyramid(B, C, D, P)
u_1 = false
v_1 = false